Question

已知．
（1）當(dāng)時(shí)，求上的值域；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）證明: 對(duì)一切，都有成立

Answer 1

(1) 值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/c/n7f7m.png" style="vertical-align:middle;" />；（2）；（3）證明如下.

解析試題分析：（1）對(duì)稱軸為，開口向上，.
（2），可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/8/1vqvy2.png" style="vertical-align:middle;" />，故要分三種情況討論，即①，t無(wú)解； ②，即時(shí)，；   ③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
所以.
(3) 設(shè)，要使在恒成立，即.由（2）可求，再利用導(dǎo)數(shù)求.
試題解析：
（1）∵=, x∈[0,3]
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/11/a/tgqqg.png" style="vertical-align:middle;" />
（2），當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增．
①，t無(wú)解；
②，即時(shí)，；
③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
所以．
（3） ，所以問(wèn)題等價(jià)于證明，由（2）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到；
設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立.
考點(diǎn)：1、二次函數(shù)求最值；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值；3、參數(shù)討論思想；4、恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想.