【題目】銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且tanA﹣tanB= (1+tanAtanB). (Ⅰ)若c2=a2+b2﹣ab,求角A、B、C的大。
(Ⅱ)已知向量 =(sinA,cosA), =(cosB,sinB),求|3 ﹣2 |的取值范圍.
【答案】解:(I)∵tanA﹣tanB= (1+tanAtanB),
∴tan(A﹣B)= = ,
∵A,B是銳角,∴A﹣B= .
∵c2=a2+b2﹣ab,∴ = = ,
∵C為銳角,∴ .
∴ ,解得A= ,B= .
(II)∵向量 =(sinA,cosA), =(cosB,sinB),
∴ =1, =sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)= ,
∵銳角△ABC,∴ ,A+B= ,
解得 .∴ ,
∴ ∈ .
∵|3 ﹣2 |= = ,
∴ <7.
∴ ∈ ,
∴|3 ﹣2 |∈
【解析】(I)利用兩角差的正切公式和余弦定理及其三角形的內(nèi)角和定理即可得出;(II)利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、銳角三角形的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
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【題目】已知函數(shù)f(x)(sinx+cosx)2+2cos2x﹣2
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T;
(2)求f(x)的最大值,并指出取得最大值時x取值集合;
(3)當(dāng)x∈[ , ]時,求函數(shù)f(x)的值域.
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【題目】如圖,已知三棱柱的所有棱長都相等,且側(cè)棱垂直于底面,由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到點的最短路線長為,設(shè)這條最短路線與的交點為.
(1)求三棱柱的體積;
(2)證明:平面平面.
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【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,E、F分別為A1C1、B1C1的中點,D為棱CC1上任一點.
(Ⅰ)求證:直線EF∥平面ABD;
(Ⅱ)求證:平面ABD⊥平面BCC1B1 .
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極值,求a的值;
(2)當(dāng)0<a< 時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)當(dāng)a=﹣1時,關(guān)于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的值.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù), 為常數(shù).
(1)確定的值;
(2)求證: 是上的增函數(shù);
(3)若對于區(qū)間上的每一個值,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.已知每投放(且)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間 (分鐘) 變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效去污的作用.
(1)若投放個單位的洗衣液,3分鐘時水中洗衣液的濃度為4 (克/升),求的值;
(2)若投放4個單位的洗衣液,則有效去污時間可達(dá)幾分鐘?
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【題目】已知橢圓E的右焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,點M 在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(﹣4,0),直線y=kx+1與橢圓E交于A,B兩點,若直線PA,PB關(guān)于x軸對稱,求k的值.
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