Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow$=（1，y），且（$\overrightarrow{a}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，D（0，-1），且|AD|=|DB|，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow）⊥（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow）$便可得到$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow）=0$，根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)即可得出P點(diǎn)的軌跡方程為x²-3y²=3；
（2）可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$消去y便可得到（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0，從而△＞0，進(jìn)而得到m²-3k²+1＞0①，然后根據(jù)韋達(dá)定理即可得出$M（\frac{3km}{1-3{k}^{2}}，\frac{m}{1-3{k}^{2}}）$．而由|AD|=|DM|即可得出DM⊥AB，從而k_DM•k_AB=-1，從而得到3k²=4m+1，代入①即可得到關(guān)于m的不等式，解出m的取值范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow）⊥（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow}^{2}$=x²-3（1+y²）=0；
∴x²-3y²=3；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點(diǎn)M$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$消去y得，（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0；
則：△=36k²m²+12（1-3k²）（m²+1）＞0，即m²-3k²+1＞0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6km}{1-3{k}^{2}}，{y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m$=$\frac{2m}{1-3{k}^{2}}$；
∴$M（\frac{3km}{1-3{k}^{2}}，\frac{m}{1-3{k}^{2}}）$；
∵|AD|=|DB|；
∴DM⊥AB；
∴${k}_{DM}•{k}_{AB}=\frac{\frac{m}{1-3{k}^{2}}+1}{\frac{3km}{1-3{k}^{2}}}•k=-1$，即3k²=4m+1；
∴m²-（4m+1）+1＞0，即m²-4m＞0；
解得m＜0，或m＞4；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及韋達(dá)定理，根據(jù)直線上兩點(diǎn)求直線的斜率的計(jì)算公式．