【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,.

(1)若,求所成角的余弦值;

(2)當平面與平面垂直時,求的長.

【答案】(1) ;(2).

【解析】

試題(1)結(jié)合已知條件,設的交點為,則,故考慮分別以軸、軸,以過且垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標系,設所成的角為,則可轉(zhuǎn)化為所成的角,代入公式可求;(2)分別求平面的法向量,平面的法向量,由平面平面可得從而可求.

試題解析:(1)因為四邊形是菱形,所以.

又因為平面,所以.

,所以平面.

.

因為,,

所以,

如圖,以為坐標原點,建立空間直角坐標系.

,,,所以.

所成角為,則 .

(2)由(1)知,設),則,

設平面的法向量,則,,所以,

,則,,所以.

同理,平面的法向量.

因為平面平面,所以,即,解得.所以.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線成的角,以及向量垂直的應用,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量關系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.

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