Question

3．已知拋物線C：y²=-4x．
（Ⅰ）寫出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；
（Ⅱ）直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，2），斜率為k，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程，即可寫出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；
（Ⅱ）分類討論，直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C焦點(diǎn)F（-1，0），準(zhǔn)線方程x=1，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2---------（3分）
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l的方程：y=kx-k+2
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\\}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0---（1）----------（5分）
（1）當(dāng)k=0時(shí)，由（1）得y=2帶入y²=-4x（4），x=-1，
此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．---------------------------------------------------------（6分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，（1）的判別式△=16-4k（4k-8）=-16（k²-2k-1）--------（7分）
當(dāng)△=0時(shí)，$k=1+\sqrt{2}$或$k=1-\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；------（8分）
當(dāng)△＞0時(shí)，$1-\sqrt{2}＜k＜1+\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；-----------（10分）
當(dāng)△＜0時(shí)，$k＞1+\sqrt{2}$或$k＜1-\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．