Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右頂點(diǎn)A（2，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)B為橢圓上頂點(diǎn)，P是橢圓C在第一象限上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，問△PMN與△PAB面積之差是否為定值？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b即可；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），求出直線PA，PB的方程計(jì)算M，N的坐標(biāo)，則S_△PMN-S_△PAB=S_△MAN-S_△BAN=$\frac{1}{2}$|AN||BM|，化簡整理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）A（2，0），B（0，1），
設(shè)P（x₀，y₀），則x₀²+4y₀²=4，
∴直線PA的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0得y_M=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴|BM|=y_M-1=-1-$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
直線PB的方程為：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0得x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
∴|AN|=x_N-2=-2-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
∴S_△PMN-S_△PAB=S_△MAN-S_△BAN=$\frac{1}{2}$×|AN|×（|OM|-|OB|）=$\frac{1}{2}×$|AN|×|BM|
=$\frac{1}{2}$（-2-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）（-1-$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{（2{y}_{0}-2+{x}_{0}）（{x}_{0}-2+2{y}_{0}）}{（{y}_{0}-1）（{x}_{0}-2）}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4+4{{y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+4{x}_{0}{y}_{0}-8{y}_{0}}{{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}+8}{{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}×4$=2．
∴△PMN與△PAB面積之差為定值．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．