Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³+1，g（x）=2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4，若函數(shù)F（x）=f（g（x））-1在區(qū)間[1，2$\sqrt{2}$]上恰有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍（　�。�

• A． [$\frac{5}{2}$，4]
• B． [$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$）
• C． [4，$\frac{9}{2}$）
• D． [4，$\frac{9}{2}$]

Answer 1

分析 令m=log₂^x，則m∈[0，$\frac{3}{2}$]，問題轉化為2m²-2m+t-4=0在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有兩個不同的實解，即t=-2m²+2m+4在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有兩個不同的實解．利用二次函數(shù)的圖象，可得結論．

解答 解：因為函數(shù)F（x）=f（g（x））-1的零點為方程f[2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4]=1的根，而f（0）=1，
所以2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4=0．
令m=log₂^x，則m∈[0，$\frac{3}{2}$]，問題轉化為2m²-2m+t-4=0在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有兩個不同的實解，
即t=-2m²+2m+4在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有兩個不同的實解．
令y=-2m²+2m+4（m∈[0，$\frac{3}{2}$]），
則y=-$2（m-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$（m∈[0，$\frac{3}{2}$]），∴y_max=$\frac{9}{2}$，
∴函數(shù)F（x）=f（g（x））-1在區(qū)間[1，2$\sqrt{2}$]上恰有兩個不同的零點，可知實數(shù)t的取值范圍是[4，$\frac{9}{2}$）．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查二次函數(shù)的圖象與性質，正確轉化是關鍵．