【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系,過點作傾斜角為()的直線交曲線于、兩點.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并寫出直線的參數(shù)方程;
(2)過點的另一條直線與垂直,且與曲線交于,兩點,求的最小值.
【答案】(1);(為參數(shù)) ;(2)28.
【解析】
(1)利用公式法對極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化,根據(jù)點和傾斜角寫出直線的參數(shù)方程.
(2)兩條直線的參數(shù)方程分別與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立,由的幾何意義和韋達定理,即可求得結(jié)果.
(1)由得,
∴為曲線的直角坐標(biāo)方程,
由作傾斜角為的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).
(2)將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得:
,
顯然,設(shè),兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為,,
則,∴,
由于直線與垂直,可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù))
與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立同理可得:
,
∴.
當(dāng)或者時,取得最小值為.
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【題目】下列命題中假命題是( )
A.若隨機變量服從正態(tài)分布,,則;
B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的必要不充分條件;
C.若,則在方向上的正射影的數(shù)量為
D.命題的否定
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【題目】已知動直線與橢圓交于、兩個不同點,且的面積,其中為坐標(biāo)原點.
(1)證明和均為定值;
(2)設(shè)線段的中點為,求的最大值;
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【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點分別為:,,證:.
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【題目】已知函數(shù),則下列判斷正確的是( )
A.函數(shù)的最小正周期為,在上單調(diào)遞增
B.函數(shù)的最小正周期為,在上單調(diào)遞增
C.函數(shù)的最小正周期為,在上單調(diào)遞增
D.函數(shù)的最小正周期為,在上單調(diào)遞增
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【題目】盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶.由于盒子上沒有標(biāo)注,購買者只有打開才會知道自己買到了什么,因此這種驚喜吸引了眾多年輕人,形成了“盲盒經(jīng)濟”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式,且每個盲盒只裝一個.
(1)若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶,若他再購買兩個這款盲盒,恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少?
(2)某銷售網(wǎng)點為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度,隨機發(fā)放了200份問卷,并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計,有的人購買了該款盲盒,在這些購買者當(dāng)中,女生占;而在未購買者當(dāng)中,男生女生各占.請根據(jù)以上信息填寫下表,并分析是否有的把握認為購買該款盲盒與性別有關(guān)?
女生 | 男生 | 總計 | |
購買 | |||
未購買 | |||
總計 |
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)該銷售網(wǎng)點已經(jīng)售賣該款盲盒6周,并記錄了銷售情況,如下表:
周數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數(shù) | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 | 30 |
由于電腦故障,第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失,該銷售網(wǎng)點負責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用第1、3周數(shù)據(jù)進行檢驗.
①請用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;
(注:,)
②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
③如果通過②的檢驗得到的回歸直線方程可靠,我們可以認為第2周賣出的盒數(shù)誤差也不超過2盒,請你求出第2周賣出的盒數(shù)的可能取值;如果不可靠,請你設(shè)計一個估計第2周賣出的盒數(shù)的方案.
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【題目】如圖,四棱柱中,平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,,.
(1)若,求證://平面;
(2)若,且三棱錐的體積為,求.
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【題目】已知橢圓的左右焦點為,,離心率為,過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交橢圓于點,兩點,與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點,,且,求的最小值.
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【題目】謝爾賓斯三角形是一種分形,其具體操作是取一個實心的三角形沿三邊中點的連線,將它分成四個小三角形,去掉中間的那一個小三角形,然后對其余三個小三角形重復(fù)以上步驟,得到如下的系列圖稱之為謝爾賓斯:三角形.在第五個圖形中,若隨機的投入一個質(zhì)點,則質(zhì)點落入“空白”處的概率為( )
A.B.C.D.
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