Question

6．設曲線y=x²在點（2，4）處的切線與曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上點P處的切線垂直，則P的坐標為$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 利用y=x²在某點處的切線斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲線的斜率，進而求得切點坐標．

解答 解：∵y=x²，
∴y'=2x．x=2，y'=4
∵y=x²在點（2，4）處的切線與曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上點P處的切線垂直，
∴曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上點P處的切線斜率為-$\frac{1}{4}$．
又y'=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，設點P（x₀，y₀）
∴-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴x₀=±2，∵x＞0，∴x₀=2，
∴y₀=$\frac{1}{2}$，
∴點P$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．
故答案為$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義：在切點處的斜率就是該點處的導數(shù)值，以及直線垂直的條件，屬于中檔題．