Question

16．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=x²，則x＜0時，f（x）=-x²，若對任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由當(dāng)x＞0時，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0 時，f（x）=x²
∴當(dāng)x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＞0}\\{{-x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足2f（x）=f（$\sqrt{x}$x），
f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
又∵函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)
故問題等價于當(dāng)x屬于[t，t+2]時 
x+t≥$\sqrt{2}$x恒成立?（$\sqrt{2}$-1）x-t≤0恒成立，
令g（x）=（$\sqrt{2}$-1）x-t，
g（x）_max=g（t+2）≤0
解得t≥$\sqrt{2}$．
∴t 的取值范圍t≥$\sqrt{2}$，
故答案為：-x²；[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．