Question

10．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t為參數），橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ為參數），F(xiàn)為橢圓C的右焦點．
（1）當α=$\frac{π}{4}$時，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線l和曲線C的極坐標方程；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法，求直線l和曲線C的極坐標方程；
（2）將直線l的參數方程代入橢圓C的普通方程，利用參數的幾何意義，即可求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

解答 解：（1）當α=$\frac{π}{4}$時，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$的普通方程為x-y-2=0，極坐標方程為ρcosα-ρsinα-2=0；
橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ為參數）的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，極坐標方程為5ρ²cos²α+9ρ²sin²α=45．（5分）
（2）將直線l的參數方程代入橢圓C的普通方程，并整理得：（5+4sin²α）t²+20tcosα-25=0．
設點A，B在直線參數方程中對應的參數分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{25}{5+4si{n}^{2}α}$．
當sinα=0時，|FA|•|FB|取最大值5；
當sinα=±1時，|FA|•|FB|取最小值$\frac{25}{9}$．…（5分）

點評 本題考查參數方程化成普通方程，考查學生的計算能力，正確運用參數的幾何意義是關鍵．