Question

5．某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m且$\frac{AB}{AD}$≥$\frac{1}{2}$，設∠EOF=θ，透光區(qū)域的面積為S．
（1）求S關于θ的函數關系式，并求出定義域；
（2）根據設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當該比值最大時，求邊AB的長度．

Answer 1

分析 （1）過點O作OH⊥FG于H，寫出透光面積S關于θ的解析式S，并求出θ的取值范圍；
（2）計算透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，
求出比值最大時對應邊AB的長度．

解答 解：（1）過點O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；
又OH=OFsinθ=sinθ，
FH=OFcosθ=cosθ，
∴S=4S_△OFH+4S_陰影OEF=2sinθcosθ+4×$\frac{1}{2}$θ=sin2θ+2θ；
∵$\frac{AB}{AD}$≥$\frac{1}{2}$，∴sinθ≥$\frac{1}{2}$，∴θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；
∴S關于θ的函數關系式為S=sin2θ+2θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；

（2）由S_矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ，
∴$\frac{2sinθcosθ+2θ}{4sinθ}$=$\frac{cosθ}{2}$+$\frac{θ}{2sinθ}$，
設f（θ）=$\frac{cosθ}{2}$+$\frac{θ}{2sinθ}$，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
則f′（θ）=-$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{sinθ-θcosθ}{{2sin}^{2}θ}$
=$\frac{sinθ-θcosθ{-sin}^{3}θ}{{2sin}^{2}θ}$
=$\frac{sin{θcos}^{2}θ-θcosθ}{{2sin}^{2}θ}$
=$\frac{cosθ（\frac{1}{2}sin2θ-θ）}{{2sin}^{2}θ}$；
∵$\frac{π}{6}$≤θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{1}{2}$sin2θ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$sin2θ-θ＜0，
∴f′（θ）＜0，
∴f（θ）在θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上是單調減函數；
∴當θ=$\frac{π}{6}$時f（θ）取得最大值為$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
此時AB=2sinθ=1（m）；
∴S關于θ的函數為S=sin2θ+2θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；所求AB的長度為1m．

點評 本題考查了三角函數模型的應用問題，也考查了三角恒等變換以及三角函數最值的應用問題，是綜合題．