Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．可得${S}_{2}^{2}$=S₁•S₄，即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，解得：a₁．即可得出．
（2）b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$=$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$•$sin\frac{（2n-1）π}{2}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，對(duì)n分為奇數(shù)偶數(shù)分組求和即可得出．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
∴${S}_{2}^{2}$=S₁•S₄，即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，化為：a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$=$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$•$sin\frac{（2n-1）π}{2}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分組與“裂項(xiàng)求和”方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．