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8.有一塊半徑為R(R為正常數(shù))的半圓形空地,開發(fā)商計(jì)劃征地建一個(gè)游泳池ABCD和其附屬設(shè)施,附屬設(shè)施占地形狀是等腰△CDE,其中O為圓心,A,B在圓的直徑上,C,D,E在半圓周上,如圖.
(1)設(shè)∠BOC=θ,征地面積為f(θ),求f(θ)的表達(dá)式,并寫出定義域;
(2)當(dāng)θ滿足g(θ)=f(θ)+R2sinθ取得最大值時(shí),開發(fā)效果最佳,求出開發(fā)效果最佳的角θ的值,并求出g(θ)的最大值.

分析 (1)連結(jié)OC,OE,用θ表示出BC,OB,代入梯形面積公式即可得出f(θ);
(2)令sinθ+cosθ=t,使用換元法求出g(θ)的最值及對(duì)應(yīng)的θ.

解答 解:(1)連結(jié)OE,OC,
在Rt△OBC中,BC=Rsinθ,OB=Rcosθ,
∴S梯形OBCE=12(Rsinθ+R)Rcosθ=12R2(1+sinθ)cosθ,
∴f(θ)=2S梯形OBCE=R2(1+sinθ)cosθ,θ∈(0,\frac{π}{2}).
(2)g(θ)=R2(1+sinθ)cosθ+R2sinθ=R2(sinθ+cosθ+sinθcosθ),
令t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4}),則t∈(1,\sqrt{2}],sinθcosθ=\frac{{t}^{2}-1}{2},
∴g(θ)=R2\frac{{t}^{2}-1}{2}+t)=\frac{{R}^{2}}{2}[(t+1)2-2],
令h(t)=\frac{{R}^{2}}{2}[(t+1)2-2],則h(t)在(1,\sqrt{2}]上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)t=\sqrt{2}即θ=\frac{π}{4}時(shí),h(t)取得最大值(\frac{1}{2}+\sqrt{2})R2,

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用,函數(shù)最值的計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.平面 α∥平面 β,直線 a⊆α,下列四個(gè)說法中,正確的個(gè)數(shù)是
①a與β內(nèi)的所有直線平行;
②a與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行;
③a與β內(nèi)的任何一條直線都不垂直;
④a與β無公共點(diǎn).( �。�
A.1B.2C.3D.4

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19.已知a>1,且b>1,若a+b=6,則(a-1)(b-1)的最大值是4.

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16.若X~B(5,0.5),則P(X≥4)=\frac{3}{16}

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3.在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1,則∠C=135°.

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13.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<\frac{π}{2})的部分圖象如圖所示,下列說法正確的是(  )
A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-\frac{2π}{3}對(duì)稱
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-\frac{11π}{12},0)對(duì)稱
C.若方程f(x)=m在[-\frac{π}{2},0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m∈(-2,-\sqrt{3}]
D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移\frac{π}{6}個(gè)單位可得到一個(gè)偶函數(shù)

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14.已知函數(shù)f(x)=max+a2x-1,(a>0且a≠1,m∈R).
(1)若a=\frac{1}{2},m=1時(shí),試判定函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)m=2時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x∈[-1,1]上的最大值是14,求實(shí)數(shù)a的值.

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15.設(shè)a,b∈R,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=\frac{x}
(Ⅰ)若f(x)=lnx-ax與g(x)=\frac{x}有公共點(diǎn)P(1,m),且在P點(diǎn)處切線相同,求該切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有極值但無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a>0,b=1時(shí),求F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[1,2]的最小值.

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