20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，橢圓上有一點P，∠F1PF2=30°，則三角形F1PF2的面積為$18-9\sqrt{3}$．

分析 在△F1PF2中，∠F1PF2=30°，|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2$\sqrt{7}$，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，從而可求得△PF1F2的面積．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$．
又∵P為橢圓上一點，∠F1PF2=30°，F(xiàn)1、F2為左右焦點，
∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2$\sqrt{7}$，
∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|F1P||PF2|-2|F1P|•|PF2|cos30°
=64-（2+$\sqrt{3}$）|F1P|•|PF2|
=28，
∴|F1P|•|PF2|=$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$．
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1P|•|PF2|sin30°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$
=18-9$\sqrt{3}$．
故答案為：$18-9\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查余弦定理的應用與三角形的面積公式，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上存在點P使得$∠{F_1}P{F_2}=\frac{2π}{3}$，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　　）
A．$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$B．$[{\frac{1}{2}，1}）$C．$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$D．$（{0，\frac{1}{2}}]$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$|a|=2，|b|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{2π}{3}$D．$\frac{5π}{6}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）}$（x＞-1且x≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）值域
（3）已知2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$＞（x+1）m對任意x∈（-1，0）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．函數(shù)f（x）=sinx-cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈[0，π]的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．以下四個命題中，其中真命題的個數(shù)為（　�。�
①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
②對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則￢p：?x∈R，均勻x2+x+1≥0
③“x＜0”是“l(fā)n（x+1）＜0”的充分不必要條件；
④“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題．
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．已知$tan（{α-β}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，tanβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則tan（α-2β）=2$\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上的一點，若$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|=\sqrt{{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}^2}+{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}^2}}$，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$，則雙曲線C的離心率是$\sqrt{5}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，函數(shù)$f（x）=3+2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x$且f（A）=5．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值．

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