9.已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線C上的一點(diǎn),若$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|=\sqrt{{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}^2}+{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}^2}}$,$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$,則雙曲線C的離心率是$\sqrt{5}$.

分析 利用雙曲線的定義,結(jié)合三角形中線長(zhǎng)的計(jì)算,建立方程,即可求出雙曲線C的離心率.

解答 解:設(shè)$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$=2m,則2m-m=2a,∴m=2a,
∵$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|=\sqrt{{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}^2}+{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}^2}}$,
∴利用三角形中線長(zhǎng)的計(jì)算可得16a2+4a2+4c2=2(16a2+4a2),
∴c=$\sqrt{5}$a,∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$,
故答案為$\sqrt{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線C的離心率,考查雙曲線的定義,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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