Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）}$（x＞-1且x≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）值域
（3）已知2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$＞（x+1）^m對(duì)任意x∈（-1，0）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，求導(dǎo)，令f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當(dāng)x=e^-1-1時(shí)，f（x）取得極大值，即可求得函數(shù)的函數(shù)f（x）值域；
（3）由m＞$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$，對(duì)x∈（-1，0）恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）}$（x＞-1且x≠0），求導(dǎo)，f′（x）=-$\frac{ln（x+1）+1}{（x+1）^{2}l{n}^{2}（x+1）}$，
∴當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即ln（x+1）+1＜0，-1＜x＜e^-1-1，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即ln（x+1）+1＞0，e^-1-1＜x＜0或x＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，e^-1-1），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（e^-1-1，0），（0，+∞），
（2）由f′（x）=0時(shí)，即ln（x+1）+1=0，x=e^-1-1，由（1）可知f（x）在（-1，e^-1-1）上遞增，在（e^-1-1，0），遞減，
∴在區(qū)間（-1，0）上，當(dāng)x=e^-1-1時(shí)，f（x）取得極大值，
即最大值為f（e^-1-1）=-e，
在區(qū)間（（0，+∞）上，f（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-e）∪（0，+∞）；
（3）2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$＞（x+1）^m＞0，x∈（-1，0），兩邊取自然對(duì)數(shù)得，$\frac{1}{x+1}$ln2＞mln（x+1），
∴m＞$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$，對(duì)x∈（-1，0）恒成立
則m大于$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$的最大值，
由（2）可知，當(dāng)x=e^-1-1時(shí)，$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$取得最大值-eln2，
∴m＞-eln2，
實(shí)數(shù)m的取值范圍（-eln2，+∞），

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．