Question

7．當a$＜\frac{1}{2}$時，關(guān)于x的不等式（e^x-a）x-e^x+2a＜0的解集中有且只有兩個整數(shù)值，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{{4e}^{2}}$，$\frac{2}{3e}$）．

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式（e^x-a）x-e^x+2a＜0可化為（x-1）e^x＜a（x-2）；
設(shè)f（x）=（x-1）e^x，g（x）=a（x-2），其中a＜$\frac{1}{2}$；
利用導數(shù)判斷單調(diào)性、求出f（x）的最值，畫出f（x）、g（x）的圖象，
結(jié)合圖象得出不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)時a的取值范圍．

解答 解：當a$＜\frac{1}{2}$時，關(guān)于x的不等式（e^x-a）x-e^x+2a＜0可化為
e^x（x-1）-a（x-2）＜0，
即（x-1）e^x＜a（x-2）；
設(shè)f（x）=（x-1）e^x，
g（x）=a（x-2），其中a＜$\frac{1}{2}$；
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）=0，解得x=0；
∴x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
∴x=0時f（x）取得最小值為f（0）=-1；
g（x）=a（x-2）是過定點（2，0）的直線；
畫出f（x）、g（x）的圖象如圖所示；

要使不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜g（-1）}\\{f（-2）≥g（-2）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}＜a•（-3）}\\{{e}^{-2}•（-2）{-e}^{-2}≥a•（-2-2）}\end{array}\right.$，
解$\frac{3}{{4e}^{2}}$≤a＜$\frac{2}{3e}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{{4e}^{2}}$，$\frac{2}{3e}$）．
故答案為：[$\frac{3}{{4e}^{2}}$，$\frac{2}{3e}$）．

點評 本題考查了不等式與函數(shù)的綜合應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應用問題，是難題．