Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-asinx-1，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）≥0在區(qū)間[0，1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率、切點，由點斜式寫出方程．
（2）f（x）≥0在區(qū)間[0，1）恒成立?asinx≤e^x-1在區(qū)間[0，1）恒成立．①當x=0時，a∈R，②當x∈（0，1）時，原不等式等價于a$≤\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，x∈（0，1），利用導數(shù)求出h（x）在（0，1）上遞增，由洛必達法則得$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$=$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}}{cosx}$=$\frac{1}{1}=1$，即可求得a的取值范圍

解答 解：（1）a=1時，f（x）=e^x-sinx-1，f′（x）=e^x-cosx，
∴f′（0）=e⁰-cos0=0，且f（0）=e⁰-sin0-1=0，
∴f（x）在x=0處的切線方程為：y=0
（2）f（x）≥0在區(qū)間[0，1）恒成立?asinx≤e^x-1在區(qū)間[0，1）恒成立．
①當x=0時，a∈R，
②當x∈（0，1）時，原不等式等價于a$≤\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，x∈（0，1）
h′（x）=$\frac{{e}^{x}sinx-{e}^{x}cosx+cosx}{si{n}^{2}x}$，
令G（x）=e^xsinx-e^xcosx+cosx，（x∈（0，1））
G′（x）=（2e^x-1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．
∴G（x）=e^xsinx-e^xcosx+cosx，（x∈（0，1））單調(diào)遞增，而G（0）=0．
故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．
h（x）在（0，1）上遞增，
x→0時，sinx→0，e^x-1→0，
由洛必達法則得$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$=$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}}{cosx}$=$\frac{1}{1}=1$，
即a≤1，
綜上，a的取值范圍為（-∞，1]

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)探究函數(shù)單調(diào)性，以及洛必達法則處理參數(shù)問題，屬于難題．