Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，利用參數(shù)方程，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=4$\sqrt{2}$，
化成直角坐標(biāo)方程為：x+y-8=0；
（2）P（$\sqrt{2}$cosα，sinα）到直線x+y-8=0的距離d=$\frac{|\sqrt{2}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}sin（α+θ）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴sin（α+θ）=1時(shí)，d的最小值為$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．