Question

20．已知雙曲線C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為x+2y=0，且點（2，$\sqrt{2}$）在雙曲線C₁上．
（1）求雙曲線C₁的標準方程；
（2）設拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點F是雙曲線C₁的一個頂點，過點P（0，t）（t＞0）任意作一條直線交拋物線于兩點A，B，直線AF，BF與拋物線的另一交點分別為M，N．若直線MN的斜率為k₁，直線AB的斜率為k₂．問：是否存在實數(shù)t，使得k₁=2k₂恒成立？若存在，求t的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)漸近線方程求得b=2a，將點（2，$\sqrt{2}$）代入拋物線方程，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線C₁的標準方程；
（2）由（1）求得拋物線方程，設直線AB的方程為：y=k₁x+t，直線AF的方程為y=nx+1，代入拋物線方程，由韋達定理，直線的斜率公式k₁=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{t}$k₂．

解答 解：（1）由題意可知：雙曲線焦點在x軸上，漸近線方程y=±$\frac{a}$x，則$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，b=2a，
將點（2，$\sqrt{2}$）代入雙曲線方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即可求得a=1，則b=2，
∴雙曲線方程為：${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）存在實數(shù)t，使得k₁=2k₂，由（1）可知，拋物線方程C₂的焦點F（0，1），則方程為x²=4y，
由題意可知：設直線AB的方程為：y=k₁x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，x²-4k₂x-4t=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=4k₂，x₁x₂=-4t，
設直線AF，BF分別于拋物線交于M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
則k₁=$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{\frac{{x}_{3}^{2}}{4}-\frac{{x}_{4}^{2}}{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$，
設直線AF的方程為y=nx+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=nk+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，整理得：x²-4nx-4=0．，則x₁x₃=-4，
同理可得：x₂x₄=-4，
故k₁=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{t}$k₂，
∴存在實數(shù)t=$\frac{1}{2}$，使得k₁=2k₂恒成立．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．