10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，長度為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一個端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，則MN中點的軌跡與正方體ABCD-A1B1C1D1的表面所圍成的較小的幾何體的體積等于$\frac{π}{6}$．

分析 根據(jù)題意，連接ND，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，則|PD|的長度不變，進而得到點P的軌跡是球面的一部分，求出球的半徑，代入球的體積公式計算．

解答 解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，連接ND，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，
設P為MN的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的$\frac{1}{8}$．
其體積V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}$×π×13=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)P點滿足的條件，判斷幾何體為球體的$\frac{1}{8}$，是中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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20．已知關(guān)于x的不等式x|x-m|-2≥m．
（1）當m=0時，求該不等式的解集；
（2）當x∈[2，3]時，該不等式恒成立，求m的取值范圍．

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1．如圖拋物線C：y2=4x的弦AB的中點P（2，t）（t≠0），過點P且與AB垂直的直線l與拋物線交于C、D，與x軸交于Q．
（Ⅰ）求點Q的坐標；
（Ⅱ）當以CD為直徑的圓過A，B時，求直線l的方程．

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18．在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，設h是邊AB上的高，則h的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

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5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為（　�。�
A．1B．3C．7D．15

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x-4）＜0}，則P∩Q=（　�。�
A．（0，4）B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．若非零向量$\overrightarrow{a}$，b滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值為$\frac{1}{4}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．等比數(shù)列{an}中，a2=2，a5=$\frac{1}{4}$，則a7=（　　）
A．$\frac{1}{64}$B．$\frac{1}{32}$C．$\frac{1}{16}$D．$\frac{1}{8}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知雙曲線C1：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為x+2y=0，且點（2，$\sqrt{2}$）在雙曲線C1上．
（1）求雙曲線C1的標準方程；
（2）設拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點F是雙曲線C1的一個頂點，過點P（0，t）（t＞0）任意作一條直線交拋物線于兩點A，B，直線AF，BF與拋物線的另一交點分別為M，N．若直線MN的斜率為k1，直線AB的斜率為k2．問：是否存在實數(shù)t，使得k1=2k2恒成立？若存在，求t的值，若不存在，說明理由．

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