Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）已知g（x）=f（x+1），當(dāng)a＞0時，若對任意的x≥0，恒有g(shù)（x））≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，x-a≥0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上遞增，無極值；
②a＞0時，令f′（x）=0得：x=a，
x∈（0，a）時，f′（x）＜0，x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
故函數(shù)在（0，a）上遞減，在（a，+∞）遞增，
故x=a時，取極小值，無極大值，極小值是f（a）=lna-a+1；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+1），∴g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$，
g（x）的定義域是（-1，+∞），
g′（x）=$\frac{x+1-a}{{（1+x）}^{2}}$，
①0＜a≤1時，g′（x）＞0，對x＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）遞增，
g（x）＞g（0）=0，滿足題意；
②a＞1時，x∈（0，a-1），g′（x）＜0，g（x）在（0，a-1）遞減，
x∈（a-1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（a-1，+∞）遞增，
若對任意x≥0，恒有g(shù)（x）≥0，則g（x）的最小值g（a-1）=lna+1-a≥0恒成立，
令m（a）=lna+1-a，則m′（a）=$\frac{1-a}{a}$，m′（a）＜0，m（a）在（1，+∞）遞減，
∴在a∈（1，+∞）時，有m（x）＜m（1）=0，
與g（a-1）=lna+1-a≥0恒成立，矛盾，
∴a的范圍是：0＜a≤1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．