Question

12．給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=1-2sin²$\frac{x}{2}$的最小正周期為2π；
②“x²-4x-5=0”的一個(gè)必要不充分條件是“x=5”；
③命題p：?x∈R，tanx=1；命題q：?x∈R，x²-x+1＞0，則命題“p∧（￢q）”是假命題；
④函數(shù)f（x）=x³-3x²+1在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為3x+y-2=0．
其中正確命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 逐項(xiàng)分析即可．①把函數(shù)的解析式變形可得；②雙向判斷是否成立即可判斷正誤；③根據(jù)復(fù)合命題的真值判斷方法易得；④先求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得．

解答 解：①∵$f（x）=1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}=cosx$，∴T=2π，故①正確；
②當(dāng)x=5時(shí)，有x²-4x-5=0，但當(dāng)x²-4x-5=0時(shí)，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x²-4x-5=0”成立的充分不必要條件，故②錯(cuò)誤；
③易知命題p為真，因?yàn)?{x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，故命題q為真，所以p∧（￢q）為假命題，故③正確；
④∵f′（x）=3x²-6x，∴f′（1）=-3，∴在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y-（-1）=-3（x-1），即3x+y-2=0，故④正確．
綜上，正確的命題為①③④．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件、復(fù)合命題真假的判斷以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．考查對(duì)基本知識(shí)的掌握．屬于基礎(chǔ)題．