Question

14．近年來，霧霾日趨嚴重，我們的工作、生活受到了嚴重的影響，如何改善空氣質(zhì)量已成為當今的熱點問題．某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某型號的空氣凈化器，根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)該型號空氣凈化器x（百臺），其總成本為P（x）（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為10萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入Q（x）（萬元）滿足Q（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+22x（0≤x≤16）}\\{224（x＞16）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)以述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：
（1）求利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）工廠生產(chǎn)多少百臺產(chǎn)品時，可使利潤最多？

Answer 1

分析 （1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函數(shù)式可得所求；
（2）分別求出各段的最值，注意運用一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值求法，即可得到．

解答 解：（1）由題意得P（x）=12+10x，…（1分）
則f（x）=Q（x）-P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+22x-12-10x，0≤x≤16}\\{224-12-10x，x＞16}\end{array}\right.$
即為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{x}^{2}+12x-12，0≤x≤16}\\{212-10x，x＞16}\end{array}\right.$…（4分）
（2）當x＞16時，函數(shù)f（x）遞減，即有f（x）＜f（16）=212-160=52萬元 …6 分
當0≤x≤16時，函數(shù)f（x）=-0.5x²+12x-12
=-0.5（x-12）²+60，
當x=12時，f（x）有最大值60萬元．…9 分
所以當工廠生產(chǎn)12百臺時，可使利潤最大為60萬元．…10 分

點評 本題考查函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值問題，正確求出分段函數(shù)式，求出各段的最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．