Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點(diǎn)P，Q分別在BD，AD上，
則AP+PQ的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長(zhǎng)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，則PQ最小，所以當(dāng)A′Q⊥AD時(shí)AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長(zhǎng)，可得出答案..

解答 解：設(shè)BE=x，則DE=3x，
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，
∴AE²=BE•DE，即AE²=3x²，∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²=AE²+DE²，即${6^2}={（\sqrt{3}x）^2}+{（3x）^2}$，解得x=$\sqrt{3}$，
∴AE=3，DE=$3\sqrt{3}$，
如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，連接A′D，PA′，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，∴當(dāng)A′、P、Q三點(diǎn)在一條線(xiàn)上時(shí)，A′P+PQ最小，
又垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$3\sqrt{3}$，
故選D．
    

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少?gòu)?fù)雜的計(jì)算．