7.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x-$\frac{1}{2}$x2
(Ⅰ)若點P是函數(shù)f(x)=lnx上任意一點,求點P到直線y=x+1的最小距離;
(Ⅱ)當x>e時,求證函數(shù)f(x)=lnx的圖象位g(x)=x-$\frac{1}{2}$x2圖象的上方.

分析 (Ⅰ)設x-y+m=0與函數(shù)f(x)=nx的圖象相切于點P(x0,y0).求導,解得x0.再利用點到直線的距離公式即可得出.
(II)構造新函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的導函數(shù),判斷出h′(x)>0在(1,+∞)上恒成立,判斷出h(x)遞增,求出h(x)的最小值,判斷出最小值大于0,判斷出h(x)>0,判斷出f(x)>g(x),得證.

解答 解:(Ⅰ)設x-y+m=0與函數(shù)f(x)=lnx的圖象相切于點P(x0,y0).
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$=,
∴f′(x0)=$\frac{1}{{x}_{0}}$=1,
∵x0>0,
解得x0=1.
∴y0=1,
∴點P(1,1)到直線y=x+1的距離為最小距離d=$\frac{|1-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
(Ⅱ)設h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+$\frac{1}{2}$x2,x>e,
∴h′(x)=$\frac{1}{x}$-1+x=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$>0恒成立,
∴h(x)在(e,+∞)為增函數(shù),
∴h(x)>h(e)=lne-e+$\frac{1}{2}$e2=1-e+$\frac{1}{2}$e2=1+e($\frac{1}{2}$e-1)>0,
∴x>e時,函數(shù)f(x)=lnx的圖象位g(x)=x-$\frac{1}{2}$x2圖象的上方

點評 考查導數(shù)研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式,利用了導數(shù)與斜率的關系,不等式常轉化為求函數(shù)的最值,屬于中檔題

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