Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程，由直線l的極坐標(biāo)方程，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；
（2）直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)為A（0，2），B（-2，0），化為極坐標(biāo)，并求出|AB|的長，根據(jù)P在圓C上，設(shè)出P坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離，利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值，即可確定出三角形PAB面積的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得圓C的普通方程（x+5）²+（y-3）²=2．
由$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1，得ρcosθ-ρsinθ=-2，
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0．
（2）直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)為A（0，2），B（-2，0），化為極坐標(biāo)為A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5+$\sqrt{2}$cost，3+$\sqrt{2}$sint），
∴P點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{|-5+\sqrt{2}cost-3-\sqrt{2}sint+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-6+2cos（t+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{2}}$
∴d_min=2$\sqrt{2}$，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$，
則△PAB面積的最小值是S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．

點(diǎn)評 此題考查了圓的參數(shù)方程，以及簡單曲線的極坐標(biāo)方程，熟練掌握參數(shù)方程與普通方程間的轉(zhuǎn)換是解本題的關(guān)鍵．