Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}+\frac{f（0）}{2}{x^2}-x$，若存在實數(shù)m使得不等式f（m）≤2n²-n成立，求實數(shù)n的取值范圍為（　�。�

• A． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$
• B． $（{-∞，-1}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，0}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{0，+∞}）$

Answer 1

分析 求導(dǎo)，將x=1代入f′（x）和f（x），即可求得函數(shù)的解析式及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值，由題意即可求得2n²-n≥f（x）_min=1，即可求得實數(shù)n的取值范圍．

解答 解：由$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}+\frac{f（0）}{2}{x^2}-x$，求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x+f（0）x-1，
當(dāng)x=1時，f′（1）=f′（1）+f（0）-1，則f（0）=1，
f（0）=$\frac{f′（1）}{e}$=1，則f′（1）=e，
f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-x，則f′（x）=e^x+x-1，
令f′（x）=0，解得：x=0，
當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞0，當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴當(dāng)x=0時，取極小值，極小值為f（0）=1，
∴f（x）的最小值為1，
由f（m）≤2n²-n，則2n²-n≥f（x）_min=1，
則2n²-n-1≥0，解得：n≥1或n≤-$\frac{1}{2}$，
實數(shù)n的取值范圍（-∞，-$\frac{1}{2}$∪[1，+∞），
故選A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，一元二次不等式的解集，考查計算能力，屬于中檔題．