Question

9．語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N（100，17.5²），數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖：
（1）如果成績(jī)大于135的為特別優(yōu)秀，這500名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？
（2）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有x人，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．
①若x～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．
②k²=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
③

P（k2≥k0）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）先求出語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率和數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率，由此能求出語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的人的個(gè)數(shù)．
（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（3）列出2×2列聯(lián)表，求出k²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N（100，17.5²），
∴語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為p₁=P（X≥135）=（1-0.96）×$\frac{1}{2}$=0.02，
數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為p₂=0.0016×20×$\frac{3}{4}$=0.024，
∴語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)有500×0.02=10人，
數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有500×0.024=12人．
（2）語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有6人，單科優(yōu)秀的有10人，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{27}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{27}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{28}$

E（X）=0×$\frac{3}{14}$+1×$\frac{27}{56}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{28}$=$\frac{9}{8}$．
（3）2×2列聯(lián)表：

	語(yǔ)文特別優(yōu)秀	語(yǔ)文不特別優(yōu)秀	合計(jì)
數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀	6	6	12
數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀	4	484	488
合計(jì)	10	490	500

∴k²=$\frac{500×（6×484-4×6）^{2}}{10×490×12×488}$≈144.5＞6.635
∴有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．