Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-1+ax，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：e^x-1≥x；
（3）求證：當a≥-2時，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=e^x-1+a，分a≥0，a＜0 討論；
（2）令a=-1，由（1）得f（x）的增區(qū)間是（+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），函數(shù)f（x）=e^x-1-x的最小值為f（1）=0，即e^x-1≥x；
（3）f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx-a-1≥0恒成立．
令g（x）=f（x）+lnx-a-1=e^x-1+a（x-1）+lnx-1，則g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a．
當a≥-2時，g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a≥x+$\frac{1}{x}$+a≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}+a$=2+a≥0，得g（x）單調(diào)遞增即可證明．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1+a，
當a≥0時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
當a＜0時，令f'（x）=0，即x=ln（-a）+1，f'（x）＞0，得x＞ln（-a）+1；f'（x）＜0，得x＜ln（-a）+1，
所以，當a≥0時．函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當a＜0時，f（x）的增區(qū)間是（ln（-a）+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，ln（-a）+1），
（2）證明：令a=-1，由（1）得f（x）的增區(qū)間是（+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），
函數(shù)f（x）=e^x-1-x的最小值為f（1）=0，∴e^x-1-x≥0即e^x-1≥x；
（3）證明：f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx-a-1≥0恒成立．
令g（x）=f（x）+lnx-a-1=e^x-1+a（x-1）+lnx-1，則g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a．
當a≥-2時，g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a≥x+$\frac{1}{x}$+a≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}+a$=2+a≥0，∴x∈[1，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（1）=0，
即當a≥-2時，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．

點評 本題考查了導數(shù)綜合應用、函數(shù)不等式的證明，