Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期及其對(duì)稱軸方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$），其中常數(shù)ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（i）當(dāng)ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）-4λf（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為$\frac{3}{2}$，求λ的值；
（ii）若函數(shù)g（x）的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)-$\frac{2π}{3}$，且其圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{3}$，1），記函數(shù)g（x）的最小正周期為T，試求T取最大值時(shí)函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)稱軸方程
（2）（i）求出g（x）的解析式，當(dāng)ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時(shí)，求函數(shù)y=g（x）-4λf（x），化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為$\frac{3}{2}$，討論，可求λ的值．
（ii）若函數(shù)的周期最大為T，單調(diào)減區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)-$\frac{2π}{3}$，且其圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{3}$，1），則有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，求解T的最大值．可得ω；圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{3}$，1），帶入g（x）化簡(jiǎn)，求解φ，從而可得函數(shù)g（x）的解析式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z），可得對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
（2）由函數(shù)g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（ωx+φ），
（i）當(dāng)ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）-4λf（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）
=cos（4x-$\frac{π}{3}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=1-2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²．
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上，
則2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]．
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]．
當(dāng)λ∈[-1，0]時(shí)，則有1+2λ²=$\frac{3}{2}$，解得：λ=$-\frac{1}{2}$；
當(dāng)λ∈（0，+∞）時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=0時(shí)，y取得最大值，此時(shí)-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²=1，與題意不符．
當(dāng)λ∈（-∞，-1）時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1時(shí)，y取得最大值，此時(shí)-2[1+λ]²+1+2λ²=-1-4λ=$\frac{3}{2}$，解得：λ=-$\frac{5}{8}$，不在其范圍內(nèi)，故舍去．
故得滿足題意的λ的值為$-\frac{1}{2}$．
（ii）函數(shù)g（x）=sin（ωx+φ），若函數(shù)的周期最大為T，單調(diào)減區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)-$\frac{2π}{3}$，
且其圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{3}$，1），則有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=4π，∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$．
點(diǎn)（$\frac{7π}{3}$，1）在圖象上，可得：$\frac{7π}{3}×\frac{1}{2}$+φ=2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=-$\frac{2π}{3}$不符合題意．舍去．
當(dāng)$\frac{7}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=$\frac{12π}{7}$．∴ω=$2π×\frac{7}{12π}=\frac{7}{6}$．
點(diǎn)（$-\frac{2π}{3}$，0）在圖象上，$\frac{7}{6}×（-\frac{2π}{3}）$+φ=-π+2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=$-\frac{2π}{9}$，
∴g（x）的解析式為：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）
點(diǎn)（$\frac{7π}{3}$，1）在圖象上，
驗(yàn)證：sin（$\frac{7}{6}×\frac{7π}{3}-\frac{2π}{9}$）=sin$\frac{π}{2}$=1符合題意．
故得g（x）的解析式為：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．對(duì)存在的周期和最值的討論，屬于難題．