Question

16．由區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+2y-4≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$中的點(diǎn)在直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|的最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用投影的定義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
三條直線的交點(diǎn)分別為P（$\frac{4}{5}，\frac{8}{5}$），Q（4，0），R（$\frac{4}{3}，\frac{8}{3}$），因?yàn)镻Q⊥PR，可行域?yàn)镽t△PQR，作斜邊RQ的高PT，求值PQ=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，PR=$\frac{8}{3\sqrt{5}}$，RQ=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
所以當(dāng)直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）與PT平行時(shí)，區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為AB最小，
則|AB|的最小值為$\frac{PQ•PR}{RQ}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題；關(guān)鍵是明確直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影構(gòu)成的線段AB最小值時(shí)直線的位置．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想．