Question

17．如果x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y+5≥0}\end{array}}\right.$，則$z=\frac{x+2y-3}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\frac{8}{5}}]∪[{3，+∞}）$
• B． $[{-1，\frac{1}{7}}]$
• C． （-1，0]∪[3，+∞）
• D． （-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析 由線性約束條件畫出可行域，把要求范圍的式子變形為$z=\frac{x+2y-3}{x+1}$=$2•\frac{y-2}{x+1}+1$由$\frac{y-2}{x+1}$的幾何意義兩點(diǎn)連線的斜率可求z的取值范圍．

解答 解：由x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y+5≥0}\end{array}}\right.$，得可行域如圖，
目標(biāo)函數(shù)變形為z=$2•\frac{y-2}{x+1}+1$由$\frac{y-2}{x+1}$的看作是可行域內(nèi)的動點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)Q（-1，2）連線的斜率的2倍+1，
由可行域看出，k_QA=$\frac{-1-2}{-2+1}$=3，k_QB=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1．
所以定點(diǎn)Q與可行域內(nèi)動點(diǎn)連線斜率的范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
則z的取值范圍是（-∞，-1]∪[7，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此題的關(guān)鍵是對目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化，是中檔題．