Question

7．設(shè)A，B分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右頂點，P是雙曲線C上異于A，B的任一點，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則$\frac{2a}$+ln|m|+ln|n|取得最小值時，雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意求得直線AP及PB斜率，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得t=1時，h（t）取最小值，$\frac{a}$=1，利用雙曲線的離心率公式即可求得答案．

解答 解：由A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，y₀²=$\frac{^{2}（{x}_{0}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，
則m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，則mn=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
$\frac{2a}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{2a}$+ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
設(shè)$\frac{a}$=t，t＞0，
則h（t）=$\frac{2}{t}$+2lnt，t＞0，
h′（t）=$\frac{2}{t}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$，
則t=1時，h（t）取最小值，
∴則$\frac{a}$=1，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C的離心率$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，對數(shù)的運算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及最值的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．