Question

17．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，可得AB⊥A₁A，在△ABC中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．由正弦定理得：∠ACB=30°，∠BAC=90°．AB⊥AC，再利用線面垂直的判定與性質定理即可證明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）作AD⊥A₁C交A₁C于D，連接BD，由三垂線定理可得BD⊥A₁C．可得∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角，利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AB⊥A₁A，
在△ABC中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．
由正弦定理得：$\frac{1}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$，∴sin∠ACB=$\frac{1}{2}$，∠ACB為銳角．
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°．
即AB⊥AC，又AA₁∩AC=A，
∴AB⊥側面ACC₁A₁．
又∵AC₁?側面ACC₁A₁．
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）作AD⊥A₁C交A₁C于D，連接BD，
由三垂線定理可得BD⊥A₁C．
所以∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角，
在Rt△AA₁C中，$AD=\frac{{{A_1}A•AC}}{{{A_1}C}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在Rt△BAD中，$tan∠ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴二面角A-A₁C-B的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關系、線面垂直的判定與性質、空間角、正弦定理、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．