Question

5．平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0）焦點的直線x+y-2$\sqrt{2}$=0交M于P，Q兩點，G為PQ的中點，且OG的斜率為9．
（Ⅰ）求M的方程；
（Ⅱ）A、B是M的左、右頂點，C、D是M上的兩點，若AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），G（x₀，y₀），利用平方差法推出$\frac{a^2}{b^2}=9$，通過M的一個焦點，求出a，b，即可求出M的方程．
（Ⅱ）由題意可設直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$利用韋達定理以及弦長公式，求解四邊形ABCD面積的表達式，通過換元法以及基本不等式求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），G（x₀，y₀），則$\frac{{{x_1}^2}}{b^2}+\frac{{{y_1}^2}}{a^2}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{b^2}+\frac{{{y_2}^2}}{a^2}=1$，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=-1$，
由此可得$\frac{{{a^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{b^2}（{y_1}+{y_2}）}}=-\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=1$，因為x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，$\frac{y_0}{x_0}=9$，所以$\frac{a^2}{b^2}=9$，
又由題意知，M的一個焦點為$（0，2\sqrt{2}）$，故a²-b²=8．因此a²=9，b²=1，
所以M的方程為${x^2}+\frac{y^2}{9}=1$．…5分
（Ⅱ）由題意可設直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$可得，（9+k²）x²+2k²x+k²-9=0，所以有${x_A}{x_C}=\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}$，進而可得${x_C}=-\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}$，所以$|AC|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_C}-{x_A}|=\frac{{18\sqrt{1+{k^2}}}}{{{k^2}+9}}$，…7分
同理可計算出$|BD|=\frac{{18\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{1}{k^2}+9}}=\frac{{18|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+9{k^2}}}$，
所以四邊形ABCD面積$S=\frac{1}{2}|AC||BD|=\frac{1}{2}•\frac{{18\sqrt{1+{k^2}}}}{{{k^2}+9}}•\frac{{18|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+9{k^2}}}=\frac{{162|k|（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（{k^2}+9）}}$，…9分
設$y=\frac{{|k|（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（{k^2}+9）}}=\frac{{|k|+\frac{1}{|k|}}}{{（\frac{1}{k}+9k）（\frac{9}{k}+k）}}=\frac{{|k|+\frac{1}{|k|}}}{{9{k^2}+\frac{9}{k^2}+82}}$，令$|k|+\frac{1}{|k|}=t$（t≥2），所以${k^2}+\frac{1}{k^2}+2={t^2}$，此時$y=\frac{t}{{9{t^2}+64}}=\frac{1}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{1}{48}$，當且僅當$t=\frac{8}{3}$時取得等號，
所以四邊形ABCD面積的最大值為$\frac{27}{8}$．…12分．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，運算求解能力的培養(yǎng)，為中等題．