Question

14．某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的A，B，C三個(gè)區(qū)市民注射，每個(gè)區(qū)均能從中任選其中一個(gè)批號(hào)的疫苗接種．
（1）求三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率；
（2）記A，B，C三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為X，求 X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同記為事件A，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求概率即可；
（2）設(shè)三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為X，寫出X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同記為事件A，
則：P（A）=$\frac{C_5^2•C_3^2•A_2^2}{5^3}=\frac{12}{25}$；
（2）設(shè)三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3，4，5；
$P（{X=1}）=\frac{1+C_3^2•4}{5^3}=\frac{13}{125}，P（{X=2}）=\frac{1+C_3^2•4+C_3^1•A_3^3}{5^3}=\frac{31}{125}$，
$P（{X=3}）=\frac{1+C_3^2•4+C_2^1•C_2^1•A_3^3}{5^3}=\frac{37}{125}，P（{X=4}）=\frac{1+C_3^2•4+C_3^1•A_3^3}{5^3}=\frac{31}{125}$，
$P（{X=5}）=\frac{1+C_3^2•4}{5^3}=\frac{13}{125}$；
所以X的分布列：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{13}{125}$	$\frac{31}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{31}{125}$	$\frac{13}{125}$

X的數(shù)學(xué)期望為：$EX=1×\frac{13}{125}+2×\frac{31}{125}+3×\frac{37}{125}+4×\frac{31}{125}+5×\frac{13}{125}=3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．