Question

13．已知一個圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上，若球的半徑為1，則當(dāng)圓錐的體積最大時，圓錐的高為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，推出r²=2h-h²，求出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值，得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則1²=（h-1）²+r²，∴r²=2h-h²，
∴V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{π}{3}$h（2h-h²）=$\frac{2}{3}$πh²-$\frac{π}{3}$h³，∴V′=$\frac{4}{3}$πh-πh²，令V′=0得h=$\frac{4}{3}$或h=0（舍去），
當(dāng)0＜h＜$\frac{4}{3}$時，V′＞0，函數(shù)V是增函數(shù)；當(dāng)$\frac{4}{3}$＜h＜2時，V′＜0．函數(shù)V是減函數(shù)，
因此當(dāng)h=$\frac{4}{3}$時，函數(shù)取得極大值也最大值，此時圓錐體積最大．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查立體幾何幾何體的體積的求法，函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．