Question

2．若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{e^x}$與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，P，Q分別是f（x），g（x）上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． 1-1n2
• B． 1+1n2
• C． $\sqrt{2}（1-1n2）$
• D． $\sqrt{2}（1+1n2）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)關(guān)于y=x，求出函數(shù)的反函數(shù)，利用曲線關(guān)于y=x對稱的性質(zhì)，只要求出P到直線y=x的距離的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$e^x關(guān)于直線y=x對稱得g（x），
∴由y=$\frac{1}{2}$e^x，得e^x=2y，
即x=ln2y，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$e^x的反函數(shù)為g（x）=ln2x，
則要使|PQ|取得最小值，
則只需f（x）上的點(diǎn)到直線y=x的距離最小即可，
如圖所示：

y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x，
由y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x=1，
得e^x=2，解得x=ln2，即切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為ln2，此時(shí)y=$\frac{1}{2}$e^ln2=1，
即P（ln2，1），則P到直線y=x的距離d=$\frac{|ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（1-ln2）\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|最小值=2d=$\sqrt{2}$（1-ln2），
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查兩點(diǎn)間距離的求法，利用函數(shù)y=x的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．