Question

1．設曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$（t為參數），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=1$
（1）求曲線C₁的極坐標方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂相交于A、B，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程消去參數t得曲線C₁的直角坐標方程，由此能出曲線C₁的極坐標方程．
（2）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，求出曲線${C_2}：y-\sqrt{3}x-2=0$，由$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y-\sqrt{3}x-2=0\end{array}\right.⇒{x^2}-\sqrt{3}x-2=0$，由此利用弦長公式能求出|AB|．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$（t為參數），
消去參數t得曲線C₁的直角坐標方程為${C_1}：y={x^2}$，
∴曲線C₁的極坐標方程為ρsinθ=ρ²cos²θ，即sinθ=ρcos²θ．
（2）∵曲線${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=1$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{3}-cosθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=1，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線${C_2}：y-\sqrt{3}x-2=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y-\sqrt{3}x-2=0\end{array}\right.⇒{x^2}-\sqrt{3}x-2=0$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\sqrt{3}$，x₁x₂=-2，k=$\sqrt{3}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+3）（3+8）}$=2$\sqrt{11}$．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的合理運用．