Question

12．已知函數(shù)f（x）=me^x-x-2（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范圍；
（2）若f（x）的兩個零點為x₁，x₂，且x₁＜x₂，求$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（2）令x₂-x₁=t（t＞0），得$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的范圍，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 （1）解：由f（x）＞0得me^x-x-2＞0，
即有$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，則$u'（x）=\frac{-x-1}{e^x}$，
令u'（x）＞0⇒x＜-1，u'（x）＜0⇒x＞-1，
∴u（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴u（x）_max=u（-1）=e，∴m＞e．
（2）由題意，$m{e^{x_1}}-{x_1}-2=0$，$m{e^{x_2}}-{x_2}-2=0$，
$y=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-（{x_2}-{x_1}）=\frac{{{e^{{x_2}-{x_1}}}-1}}{{{e^{{x_2}-{x_1}}}+1}}-（{x_2}-{x_1}）$．
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，又$g'（t）=\frac{{-{e^{2t}}-1}}{{{{（{e^t}+1）}^2}}}＜0$，
∴g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（t）＜g（0）=0，g（t）∈（-∞，0），
∴$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域為（-∞，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．