Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA+bsinB-csinC=asinB．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若D為AB中點，CD=1，延長CD到E，使CD=DE，設∠ACD=α，將四邊形AEBC的面積S用α表示，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式利用正弦定理化簡可得a²+b²-c²=ab，根據(jù)余弦定理可求cosC，結(jié)合C的范圍可求C的值．
（Ⅱ）依題意得四邊形AEBC為平行四邊形，由正弦定理得$AE=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα$，$AC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-α）$，由三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[2sin（2α+$\frac{π}{6}$）-1]，由范圍$0＜α＜\frac{π}{3}$，可求$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求四邊形AEBC的面積S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵asinA+bsinB-csinC=asinB．
∴得a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）依題意得△ADC≌△BDE，所以AC=BE
同理，AE=BC，所以四邊形AEBC為平行四邊形，
在△ACE中，由正弦定理得$\frac{AC}{{sin（\frac{π}{3}-α）}}=\frac{AE}{sina}=\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}$，
所以$AE=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα$，$AC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-α）$，
所以$S=AE•AC•sin∠EAC=\frac{16}{3}sinαsin（\frac{π}{3}-α）sin\frac{2π}{3}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}sinα（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{1-cos2α}{4}）$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（\sqrt{3}sin2α+cos2α-1）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}[{2sin（2α+\frac{π}{6}）-1}]$，
因為$0＜α＜\frac{π}{3}$，所以$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$當，即$α=\frac{π}{6}$時，
四邊形AEBC的面積S的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．