Question

2．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．設F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x），解決下列問題：
（1）求函數(shù)F（x）的定義域；
（2）證明F（x）為偶函數(shù)；并求F（x）的值域；
（3）證明G（x）為奇函數(shù)；并判斷函數(shù)G（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)F（x）的定義域即可；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可，根據(jù)復合函數(shù)的單調性求出F（x）的值域即可；
（3）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可，求出G（x）的導數(shù)，從而判斷G（x）的單調性．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
由對數(shù)函數(shù)的定義得：$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
故F（x）的定義域是（-1，1）；
（2）證明：F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
F（-x）=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x），
F（x）的定義域是（-1，1），關于原點對稱，
故F（x）是偶函數(shù)；
x=0時，F(xiàn)（0）=0，
x＞0時，F(xiàn)（x）=log_a（-x²+1），
a＞1時，F(xiàn)（x）在（0，1）遞減，x→1時，F(xiàn)（x）→-∞，
故x＞0時，F(xiàn)（x）∈（-∞，0），
根據(jù)函數(shù)F（x）是偶函數(shù)得：
x＜0時，F(xiàn)（x）∈（-∞，0），
故f（x）的值域是（-∞，0]；
（3）證明：G（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-g（x）=log_a（1-x），
G（x）的定義域是（-1，1），關于原點對稱，
G（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-G（x），
故函數(shù)G（x）在（-1，1）是奇函數(shù)；
G′（x）=$\frac{1}{（x+1）lna}$-$\frac{1}{（x-1）lna}$=$\frac{2}{（x-1）（x+1）lna}$，
a＞1時，G′（x）＜0，G（x）在（-1，1）遞減，
0＜a＜1時，G′（x）＞0，G（x）在（-1，1）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、奇偶性問題，考查函數(shù)的值域問題，是一道中檔題．