Question

【題目】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個(gè)條件： ①（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
②sinA=2cosBsinC
③b=acosC，c=acosB
④
有兩個(gè)結(jié)論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
請(qǐng)你選取給定的四個(gè)條件中的兩個(gè)為條件，兩個(gè)結(jié)論中的一個(gè)為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的命題 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
【解析】解：由（1）（2）為條件，甲為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由如下： 證明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，變形得：
a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，
則cosC= = ，又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C=0，即B=C，
則A=B=C=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
以（2）（4）作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：化簡(jiǎn)得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理 = = =2R得：
sinA= ，sinB= ，sinC= ，
代入 得：
2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，
整理得：a2﹣b2= ab﹣b2 ， 即a2= ab，
∴a= b，
∴a2=2b2 ， 又b2+c2=2b2 ，
∴a2=b2+c2 ，
∴∠A=90°，
則三角形為等腰直角三角形；
以（3）（4）作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：由正弦定理 = = =2R得：
sinA= ，sinB= ，sinC= ，
代入 得：
2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，
整理得：a2﹣b2= ab﹣b2 ， 即a2= ab，
∴a= b，
∴a2=2b2 ， 又b2+c2=2b2 ，
∴a2=b2+c2 ，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根據(jù)正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴ = ，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內(nèi)角，
∴2B=2C，即B=C，
則三角形為等腰直角三角形．
所以答案是：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦定理:．