Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若,存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) .

【解析】

(1)根據(jù)的不同取值,結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì),分類(lèi)討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和所給的區(qū)間的位置進(jìn)行分類(lèi)討論,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

(1)當(dāng)時(shí), ,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí), ,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí), ,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減；

(2)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：.

①當(dāng)時(shí),二次函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),因此有：

,

所以一元二次方程在區(qū)間上有兩不等根,則有

；

②當(dāng)時(shí),二次函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),因此有：

,所以可以看成一元二次方程兩根,則，有；

③當(dāng)時(shí), ,所以由

函數(shù)的最大值是中的一個(gè)值, .

①若時(shí),有,此時(shí),所以或

(i)若時(shí),

(ii)若,由（舍）：

②若時(shí),有,此時(shí),

因此有,

根據(jù)

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.