Question

19．在正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且點(diǎn)$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直線x-9y=0上，則{a_n}的前n項(xiàng)和S_n等于（　�。�

• A． 3ⁿ-1
• B． $\frac{{1-{{（{-3}）}^n}}}{2}$
• C． $\frac{{1+{3^n}}}{2}$
• D． $\frac{{3{n^2}+n}}{2}$

Answer 1

分析 代入點(diǎn)$（a_n^2，a_{n-1}^2）$，化簡(jiǎn)可得數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：在正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且點(diǎn)$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直線x-9y=0上，
可得a_n²=9a_n-1²，即為a_n=3a_n-1，
可得數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
則{a_n}的前n項(xiàng)和S_n等于$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，是一道好題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．