14.設(shè)等差數(shù)列{an }的前n項和為Sn,已知a1=9,a2為整數(shù),且Sn≤S5
(1)求{an }的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{1anan+1}{1anan+1}的前n項和為Tn,求證:Tn49

分析 (1)a1=9,a2為整數(shù),可知:等差數(shù)列{an }的公差d為整數(shù),由Sn≤S5,可得a5≥,a6≤0,可得d=-2.即可得出.
(2)1anan+1=1112n92n=12192n1112n.利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 (1)解:a1=9,a2為整數(shù),可知:等差數(shù)列{an }的公差d為整數(shù),
由Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0,則9+4d≥0,9+5d≤0,解得94d95,d為整數(shù),d=-2.
∴an=9-2(n-1)=11-2n.
(2)證明:1anan+1=1112n92n=12192n1112n
∴數(shù)列{1anan+1}的前n項和Tn=12[1719+1517+…+192n1112n]=12192n19
令bn=192n,由于函數(shù)f(x)=192x的圖象關(guān)于點(4.5,0)對稱及其單調(diào)性,可知:0<b1<b2<b3<b4,b5<b6<b7<…<0,∴bn≤b4=1.∴Tn12119=49

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數(shù)列的通項公式、函數(shù)的對稱性、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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