Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則|OA|=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 由題意可知求得直線l的方程，代入拋物線方程，點(diǎn)A在x軸上方，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得丨OA丨．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）
∵直線l過F，傾斜角為60°，即斜率k=tanα=$\sqrt{3}$，
∴直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}y+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{3}}\\{x=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{x=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
由點(diǎn)A在x軸上方，則A（3，2$\sqrt{3}$），
則|OA|=$\sqrt{（3）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
則丨OA丨=$\sqrt{21}$，
故答案為：$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查計算能力，屬于中檔題．