Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與拋物線y²=8x有一個公共的焦點(diǎn)F．設(shè)這兩曲線的一個交點(diǎn)為P，若|PF|=5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3；該雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義，結(jié)合條件可得P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，即可得到所求雙曲線的漸近線方程．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），
即有雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0），即c=2，
a²+b²=4，①
又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，
由拋物線的定義可得|PF|=x_P+2=5，
可得x_P=3，
則P（3，$±2\sqrt{6}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{24}{^{2}}$=1，②
由①②解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\sqrt{3}$x．
故答案為：3，y=±$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義和方程的運(yùn)用，考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的求法，注意運(yùn)用方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．